После покупки машины есть две группы дел: юридические и технические. Юридические — ОСАГО и регистрация в ГИБДД за 10 дней. Технические — «нулевое» техобслуживание: замена масла, фильтров и жидкостей, потому что вы не знаете, когда это делал прежний владелец.
Юридические дела

Подробно — в статьях «ОСАГО при покупке авто» и «Регистрация авто после покупки».
Нулевое ТО

Важно. Обрыв ремня ГРМ на многих двигателях приводит к дорогому ремонту. Если прежний владелец не подтвердил замену документально — меняйте.
Что ещё сделать
- Сделайте дубликат ключа, если он один.
- Проверьте комплектность: запаска, домкрат, знак аварийной остановки, аптечка, огнетушитель.
- Подумайте о защите от угона — подробнее в статье «Защита авто от угона».
Частые вопросы
Продавец говорит, что масло только что поменял. Менять снова?
Если есть чек и понятно, какое масло залито, — можно не менять. Если нет — лучше заменить: это недорого.
Нужно ли сразу ехать на диагностику, если она была до покупки?
Если диагностику делали перед покупкой, повторять не нужно. Займитесь заменой расходников по её результатам.